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二维旋度的情形与定义

国内时政大事 2020-03-26 340 jiajiahui888

咱们的方针是什么

在二维中,旋度的正式界说为线积分的以下极限:

这是杂乱的,可是当咱们一步一步地构建它时,它是有意义的。

流体方式下的I旋转

假定你有一个活动的流体,它的速度是由向量场F(x,y)给出的

比方咱们在二维旋度的文章中看到的。

假如你还不知道旋度,但你学过向量场的线积分,你会丈量一个区域的流体旋转吗??

举一个相对简略的比方,考虑向量场

这是典型的逆时针旋转向量场。

咱们怎么使流体旋转的概念数学化(在了解旋度之前)?一种办法是幻想绕着某个区域的周长走一圈,就像一个以原点为中心的单位圆,然后丈量液体在每个点上是与你一同活动仍是与你相反。

更一般地说,假如流体倾向于在一个区域内逆时针活动,那么流体在该区域周围的速度向量场的线积分应该是正的(当它是逆时针方向时)。

你也能够幻想一个更杂乱的向量场,在这个场中,流体在逆时针绕着圆走的时分和你在一同,可是在其他地方和你相反。

当气流与你在一同时,F.dr值为正,当气流与你相反时,F值为负。在某种程度上,积分∮F.dr就像一个投票体系,核算出这些不同的方向彼此抵消的程度,以及哪一个总体上是赢家。

  • 让区域的巨细改动

所以,在用数学办法表达了流体绕着一个区域旋转的概念之后,你或许想要捉住流体在一点旋转的更难以捉摸的概念。你会怎么做呢?

你能够从考虑那个点周围越来越小的区域开端,比方半径越来越小的圆,然后看看这些区域周围的流体是什么样的。

回到咱们的向量场F=-yi+xj ,与其只看单位圆,不如让Cr代表一个以原点为中心,半径为R的圆

核算F关于这个圆的线积分作为R的函数

这个圆依然是逆时针的。

单位面积均匀旋转

最终这个问题的答案暗示了一些风趣的工作。一个区域的旋转好像与该区域的面积成正比。当然,您只展现了以原点为中心的圆,而不是一切或许的区域,但它依然具有启发性。这或许会给你一个主意。

要害思维:假如你用∮F.dr来丈量一个区域的流体活动,然后除以这个区域的面积,它能够给出一些单位面积的均匀旋转的概念。

“单位面积

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均匀旋转”的概念或许有点古怪,但假如你回想一下旋度的解说,这便是咱们想要旋度标明的意思。旋度是用来丈量流体在一个大区域内怎么旋转的,而不是考虑流体在一个大区域内的旋转。

概念查看:上例中的向量字段有点特别,因为环绕原点的圆的“单位面积旋转”关于一切圆来说都是相同的值。这个

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值是多少?

  • 界说二维旋度

最终两个问题标明“单位面积内的均匀旋转”在以原点为中心的圆中与函数的旋度相同,至少在咱们的详细比方中是这样。现实证明,这一点适用范围更广

现实上,咱们界说向量场F在点(x,y)处的旋度的办法便是,在点(x,y)周围越来越小的区域里,单位面积上的均匀旋转的极限

详细来说,这是界说二维旋度的公式:

F为二维向量场。

(x,y)是平面上某个特定的点。

A(x,y)标明点(x,y)周围的某个区域,例如,以点(x,y)为圆心的圆

∣ A(x,y)∣标明A(x,y)的面积

lim∣ A(x,y)∣→0标明咱们考虑A(x,y)趋于0时的极限,这意味着这个区域在(x,y)邻近缩小

C是A(x,y)的鸿沟,逆时针方向。

∮是环绕C的线积分

这个公式关于核算来说是不实际的,可是一旦你把它和流体旋转联系起来,你就会十分清楚。这个界说和核算二维旋度的公式是相同的,这是一个很好的现实。

  • 保存向量场的另一个特征

F(x,y)是一个保存向量场,一切闭环上的线积分都是0

表达式∮F.d

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r总是0,所以二维旋度的界说是这样的

因而,保存向量场的旋度总是0。

他给出了一个重要的现实:假如一个向量场是保存的,它便是无旋的,这意味着旋度处处为零。

特别地,因为梯度场总是保存的,梯度的旋度总是零。这是一个现实,你能够经过核算公式得到。可是,我以为用旋度的界说和为什么梯度场是保存的直觉来了解它会更有协助。

反过来呢?假如一个

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向量场的旋度处处为零,这是否意味着它一定是保存的

的确如此,

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但不幸的是,你有必要比及学习格林公式之后才干知道原因。

假如一个向量场标明流体活动,你能够经过对该向量场沿该区域鸿沟的线积分来量化“该区域内的流体旋转”。

总结:

为了从一个区域内的流体旋转概念过渡到一个点周围的流体活动(这是旋度所衡量的),咱们引入了一个区域内“单位面积内的均匀旋转”的概念。然后考虑当你的区域缩小到某一点时,这个值会趋近于什么。

在公式中,咱们得到二维旋度的界说如下:

旋度和闭环线积分之间的这种联系意味着无旋场和保存场是一回事。

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